题目链接：Pascal’s Triangle
Given numRows, generate the first numRows of Pascal’s triangle.
For example, given numRows = 5,
Return
[
[1],
[1,1],
[1,2,1],
[1,3,3,1],
[1,4,6,4,1]
]
这道题的要求是生成杨辉三角。
杨辉三角，又称贾宪三角形，帕斯卡三角形，是二项式系数在三角形中的一种几何排列。在欧洲，这个表叫做帕斯卡三角形。帕斯卡（1623—-1662）是在1654年发现这一规律的，比杨辉要迟393年，比贾宪迟600年。
1 1
2 1 1
3 1 2 1
4 1 3 3 1
5 1 4 6 4 1
6 1 5 10 10 5 1
7 1 6 15 20 15 6 1
8 1 7 21 35 35 21 7 1
9 1 8 28 56 70 56 28 8 1
10 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1
11 1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1
12 1 11 55 165 330 462 462 330 165 55 11 1
13 1 12 66 220 495 792 924 792 495 220 66 12 1
...
n 1, C(n,1), C(n,2), …, C(n,n-1), C(n,n), …
以上即为杨辉三角的排列性质：C(n,k)。
杨辉三角有多种重要的性质：
- 前提：端点的数为1.
- 每个数等于它上方两数之和。
- 每行数字左右对称，由1开始逐渐变大。
- 第n行的数字有n项。
- 第n行数字和为2n-1。
- 第n行的m个数可表示为 C(n-1,m-1)，即为从n-1个不同元素中取m-1个元素的组合数。
- 第n行的第m个数和第n-m+1个数相等 ，为组合数性质之一。
- 每个数字等于上一行的左右两个数字之和。可用此性质写出整个杨辉三角。即第n+1行的第i个数等于第n行的第i-1个数和第i个数之和，这也是组合数的性质之一。即 C(n+1,i)=C(n,i)+C(n,i-1)。
- (a+b)n的展开式中的各项系数依次对应杨辉三角的第(n+1)行中的每一项。[1]
- 将第2n+1行第1个数，跟第2n+2行第3个数、第2n+3行第5个数……连成一线，这些数的和是第4n+1个斐波那契数；将第2n行第2个数(n>1)，跟第2n-1行第4个数、第2n-2行第6个数……这些数之和是第4n-2个斐波那契数。
- 将各行数字相排列，可得11的n-1（n为行数）次方：1=11^0; 11=11^1; 121=11^2……当n≥5时会不符合这一条性质，此时应把第n行的最右面的数字”1”放在个位，然后把左面的一个数字的个位对齐到十位… …，以此类推，把空位用“0”补齐，然后把所有的数加起来，得到的数正好是11的n-1次方。以n=11为例，第十一行的数为：1,10,45,120,210,252,210,120,45,10,1，结果为 25937424601=1110。
以上出自杨辉三角_百度百科。
接下来，利用上面性质8逐行生成杨辉三角。
时间复杂度：O(n2)
空间复杂度：O(n2)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
class Solution
{
public:
vector<vector<int> > generate(int numRows)
{
// 每行的第一个元素先赋值成1
vector<vector<int> > vvi(numRows, vector<int>(1, 1));
for(int i = 1; i < numRows; ++ i) // 逐行生成杨辉三角
{
// 每个数字等于上一行的左右两个数字之和
for(int j = 1; j < i; ++ j)
vvi[i].push_back(vvi[i - 1][j - 1] + vvi[i - 1][j]);
vvi[i].push_back(1); // 添加每行的最后的1
}
return vvi;
}
};